نوشته شده توسط مهدی نوروزی فر دسته: فیزیک آکوستیک
نمایش از 28 ارديبهشت 1392 بازدید: 5573
پرینت

 بسمه تعالی

تار لرزان

Vibrating String

ایوب بنوشی این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید

دانشکده صداوسیما

1) اهميتِ تارِ لرزان؛

 2) فرض‌هاي ساده‌كننده؛

 3) معادله‌ي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك تارِ ‌لرزان؛

 4) پاسخِ‌ عمومي‌ي معادله‌‌ي لرزشِ تار؛

 5) تارِ بي‌نهايت و لرزش‌هاي آزاد؛

 6) شرايطِ مرزي و بازتابِ موج؛

 7) لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ نيمه‌ـ ‌بي‌نهايت؛

 8) تارهاي با درازاي محدود؛

 9) پاسخِ‌ هماهنگِ‌ ساده؛

 10) لرزش‌هاي آزادِ يك تار دوسرـ مقيد؛

لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ زخمه‌خورده(plucked string)

لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ زخمه‌خورده(plucked string) 

11) انرژي‌ي تارِ لرزان؛

انرژي‌ تارِ لرزان (مثال)

12) لرزش‌هاي واداشته (تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت)؛

پاگيري‌ي مكانيكي‌ تار

نيروي غيرِمتمركز

13) لرزش‌هاي واداشته (تارِ ‌محدود)؛

14) تارهاي واقعي

 فرايندهاي اتلافي در تارهاي واقعي

 

 


 

1) اهميتِ تارِ لرزان در اكوستيك

8

  • تمامِ‌ سازهاي زهي داراي يك تارِ‌ لرزان هستند كه منبعِ اوليه‌ي‌ توليدِ‌ صداي آن‌ها است؛
  • بعضي از مسائل در الكترومغناطيس و مكانيكِ كوانتومي برپايه‌ي تارِ لرزان حل مي‌شوند؛
  • ساده‌ترين مثال از يك جسمِ لرزنده است كه به‌صورتِ پيوسته به آن نگريسته مي‌شود.

2) فرض‌هاي ساده‌كننده

8

1-تار كاملاً منعطف (flexible) است (بدونِ چغري ـ stiffness)؛

2-قطرِ تار ناچيز است، در نتيجه تنها با امواجِ عرضي سروكار داريم؛

3-انتشارِ موج در تار بدونِ اتلاف است (اصطكاك با هوا وجود ندارد)؛

4-تنها نيروي وارد بر تار، كششِ اعمالي به آن است (تار فاقدِ وزن فرض مي‌شود)؛
5-جرمِ ‌تار به‌صورتِ يكنواخت درطولِ آن توزيع شده است؛
6-جابه‌جايي‌ي تار از حالتِ تعادلش كوچك است، طوري‌كه از همنه‌ مماسي‌ كشش چشم‌پوشي مي‌شود؛
7-درازاي تار هنگامِِ  جابه‌جايي تغيير نمي‌كند و كشش در كليه‌ي نقاطِ آن يكسان است؛
8-لرزش‌هاي تار تنها در يك صفحه‌ي گذرنده از تار بررسي مي‌شود، و جابه‌جايي كاملاً بر تار عمود است.

3) معادله‌ي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك تارِ لرزان

8

تنها نيروي وارد بر تار، اختلافِ همنه‌هاي عمودي‌ كشش است:
 
e-a.ir-vs3
 
e-a.ir-vs1
 
 
با استفاده از بسطِ تيلور و بافرضِ تقريبِ درجه‌ي اول، خواهيم داشت:
e-a.ir-vs2
 
 باكمكِ قانونِ دومِ نيوتن:
                   e-a.ir-vs4   e-a.ir-vs5
 
                e-a.ir-vs6
 

4) پاسخِ عمومي‌ي معادله‌ لرزشِ تار

8

منظور از پاسخِ ‌معادله‌‌ي موج، رابطه‌اي است كه موقعيتِ عمودي‌‌ي تار (y) را در هرلحظه از زمان (t) و در هر نقطه‌ي x تعيين كند.هر معادله‌ي موج داراي پاسخي بدين ‌شكل است:
 
e-a.ir-vs8
 
 
 
 
e-a.ir-vs7
 
اين معادله نشان مي‌دهد كه جابه‌جايي‌ي اوليه‌‌ي تار به‌صورتِ دو شكلِ‌موجِ‌ ثابتِ‌ رونده به چپ و راست در طولِ تار منتشر مي‌گرددوسرعتِ انتشارِ موج به شكلِ موج بستگي ندارد.
 
 
 
 
8
معادله‌‌ي موج يك معادله‌‌ي درجه‌ي دوم است، از اين‌رو حلِ‌ِ اين معادله براي يك تارِ با درازاي بي‌نهايت كه آزادانه مي‌لرزد، نيازمندِ دو شرطِ اوليه است:
e-a.ir-vs9
 
باتوجه به پاسخِ عمومي‌ي معادله‌ موج و شرط‌هاي بالا خواهيم داشت:
e-a.ir-vs10
با تركيبِِ دو رابطه‌‌ي اخير خواهيم داشت:
e-a.ir-vs11
و بدين ترتيب:
e-a.ir-vs12 
 كه در آن داريم:
e-a.ir-vs13

6) شرايطِ مرزي و بازتابِ موج

8

e-a.ir-vs14-0

درعمل تارها همواره داراي درازايي محدود هستندو از دو طرف بسته مي‌شوند.اگر سرِ‌ يك تار كاملاً محكم شده باشد، آن سر را مقيد گويند. در اين‌حال داريم: 
 
e-a.ir-vs14
 
e-a.ir-vs05
 
 
 
 
 
اگر سرِ مقيدِ تار را در X = 0فرض كنيم، خواهيم داشت:
e-a.ir-vs15
در نتيجه براي هر نقطه‌ي تار داريم:
e-a.ir-vs16
 
 
 
 
 
 

e-a.ir-vs17
 
تقيد تنها شرطِ  مرزي‌ي ممكن براي تارها نيست. سر يك تار مي‌تواند آزاد، داراي تكيه‌گاهِ‌ شل، و ..... باشد.سر يك تارِ لرزان مي‌تواند آزاد باشد.از آن‌جا كه در يك سرِ‌آزاد هيچ نيرويي بر تار وارد نمي‌شود، همنه‌ي عمودي‌‌ي كشش بايد صفر گردد؛ به‌عبارتِ ديگر 
 
e-a.ir-vs18
 e-a.ir-vs06
 
 
 
 
 
اگر سرِ آزادِ تار را در x = 0فرض كنيم، داريم:
e-a.ir-vs19
در نتيجه براي هر نقطه‌ي تار داريم:
e-a.ir-vs20
 

 

7) لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت

8

براي تاري با درازاي بي‌نهايت كه يك سرِ‌آن در نقطه‌‌ي x = 0 مقيد شده است، جابه‌جايي‌ تار بايد رابطه‌ي زير را دنبال كند:
e-a.ir-vs20
از طرفي شرط‌هاي اوليه براي اين تار عبارتند از:
e-a.ir-vs22
با اعمال اين شرايطِ‌ اوليه بر تابعِ‌ موج به دستگاهِ معادله‌هاي خطي‌ي مقابل مي‌رسيم:
e-a.ir-vs23
با حلِ اين دستگاهِ‌ معادله‌ها، تابعِ موجِ ‌يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايتِ مقيد به‌دست مي‌آيد:
e-a.ir-vs24
 
8
درعمل معمولاً تارها درازايي محدود دارند. يك تار با درازاي L كه دو سرش مقيد است نيز مي‌تواند آزادانه بلرزد. تقيد در x = 0باعث مي‌شود كه تابعِ موج ناچار بدين شكل باشد:
 e-a.ir-vs25
تقيد در x = Lبه اين  معنا است كه بايد
e-a.ir-vs26

در نتيجه

e-a.ir-vs27

به‌عبارتِ ديگر

e-a.ir-vs28

يعني لرزش‌هاي تار تناوبي خواهد شد: 

e-a.ir-vs29

 شرايطِ مرزي‌‌ ديگر الزاماً حركتِ تناوبي ايجاد نمي‌كنند.

 

9) پاسخِ هماهنگِ ساده

8

ساده‌ترين و پايه‌اي‌ترين حركتِ تناوبي حركتِ هماهنگِ ساده است.اگر لرزشِ يك تارِ هماهنگِ ساده باشد، داريم:

 Picture30
 
براي يك تاري كه در يك سر مقيد است، بااعمالِ شرايطِ مرزي در {x = 0 {y(0,t) = 0 خواهيم داشت:
Picture31
 
8
براي يك تارِ دوسرـ مقيد، حركتِ هماهنگِ ساده بازهم بيش‌تر محدود مي‌شود. در اين حال بااعمالِ شرايطِ مرزي در {x = L {y(L,t) = 0 خواهيم داشت:
 Picture32
 يعني يك تارِ دوسرـ مقيد تنها مجاز است با بسامدهايي خاص بلرزد. اين بسامدها آمودهاي لرزش ناميده مي‌شوند.آمودِ نظير به n = 1، آمودِ اصلي يا بسامدپايه (fundamental) ناميده مي‌شود.آمودهاي nم كه بسامدشانِ n برابر بسامدپايه است، هماهنگ (harmonic) گفته مي‌شوند. هر آمود نظير به يك موجِ‌ِ ايستا است.فاصله‌ي هر دو ايستمان يا خيزمانِ اين امواجِ‌ ايستا برابر است با: 
Picture33
ديديم كه لرزش‌هاي يك تارِ دوسرـ مقيد هميشه متناوب است.طبقِ نظريه‌ي فوريه، هر حركتي متناوب را مي‌شود به‌صورتِ مجموعي از حركت‌هاي سينوسي‌ ساده نوشت. اين حركت‌هاي سينوسي‌ ساده همان‌هايي هستند كه هنگامِِ بحث درباره‌ي حركتِ هماهنگِ‌ ساده‌يك تارِ لرزان پديدار مي‌شوند. از آن‌جا كه معادله‌‌ي موج يك معادله‌ي خطي است، در اين شرايط، هر لرزشِ دل‌خواهِ‌ تار را مي‌توان مجموعي از آمودهاي لرزشِ تار دانست، به عبارتي
Picture34
 
در معادله‌ي پيشين An و  Bدو ثابت هستند كه باتوجه به شرايطِ اوليه پيدا مي‌شوند:
 e-a.ir-vs37
 
به عبارتِ ‌ديگر  An و ωnBn  ضرايبِ سري‌ي فوريه‌ي توابعِ e-a.ir-vs40  و e-a.ir-vs41 هستند:
e-a.ir-vs42
 
8
 
 
 
 
e-a.ir-vs07
e-a.ir-vs43  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
اگر بر يك تار زخمه بزنيم، داراي يك جابه‌جايي‌ اوليه مي‌شود، اما سرعتِ اوليه‌ي تار صفر خواهد بود.مثلاً اگر در ميانه‌ي تار بر آن زخمه بزنيم:
  e-a.ir-vs44  e-a.ir-vs45
 
همه‌ي آمودهاي زوج حذف شده‌اند.

8

e-a.ir-vs46e-a.ir-vs08

اگر بر يك تار مضراب بزنيم، داراي يك سرعتِ ‌اوليه‌ مي‌شود،اما جابه‌جايي اوليه‌ي آن صفر خواهد بود.مثلاً اگر تابعِ سرعتِ‌ اوليه به‌شكلِ نشان‌داده‌شده باشد:
e-a.ir-vs47 e-a.ir-vs48
  

8

انرژي يك تارِ لرزان مجموعِ‌ انرژي‌ پتانسيل و جنبشي‌ آن است.براي محاسبه‌ي انرژي بايد تقريب‌هاي مرتبه‌ي دوم را منظور كنيم.

e-a.ir-vs51 

e-a.ir-vs52
براي يك سامانه‌ي بدونِ اتلاف، بيشينه‌ي انرژي‌ي جنبشي، بيشينه‌ي انرژي‌ي پتانسيل، و انرژي‌ي كل باهم برابرند.
 
 8
محاسبه‌ي انرژي‌ي بيشينه‌ي يك تارِ زخمه‌خورده در ميانه‌اش:
براي چنين وضعيتي داشتيم:
e-a.ir-vs53
در نتيجه
e-a.ir-vs54
يعني با افزايشِ شماره‌ي هماهنگ انرژي‌ي آن با توانِ ‌دومِ  n كاهش مي‌يابد.

 

12) لرزش‌هاي واداشته (تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت)

8

 علاوه بر يك كششِ ثابت، ممكن است نيروهايي ديگر نيز بر يك تار وارد شود؛ در اين‌حال لرزش‌هاي حاصل را لرزش‌هاي واداشته (forced vibration) گويند.نيرو ممكن است بر تمامِ تار يا بر يك نقطه از آن وارد شود.

در اين‌جا تنها حالتِ ساده‌تر، يعني اعمالِ نيرو بر يك نقطه را بررسي مي‌كنيم.
فرض مي‌كنيم اعمالِ نيرو، كششِ تار در راستاي افق را ثابت نگاه داشته، و تنها كشش در راستاي عمود را تغيير دهد.

e-a.ir-vs55
 
 
 
اگر يك نيروي عمودي در محلِ تكيه‌گاه بر يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت وارد شود، يك جابه‌جايي در نقطه‌ي x = 0ايجاد مي‌شود: 
 
 
موجِ حاصل از اين جابه‌جايي‌ي اوليه، تنها درجهتِ مثبت منتشر مي‌شود، و هيچ بازتابي نخواهيم داشت:
 e-a.ir-vs56
 
 
 
 
 
نيروي واردشده بر تار در راستاي عمود، و در نقطه‌ي x = 0  برابر مي‌شود با:
 e-a.ir-vs57
 
8
طبق تعريف پاگيري‌ي مكانيكي عبارت است از نسبتِ نيرو به سرعت.
پاگيري‌ي مكانيكي‌ي ديده‌شده ازمحلِ تكيه‌گاهِ يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت، برابر مي‌شود با:
 e-a.ir-vs00
در اين‌حالت پاگيري‌‌ي مكانيكي كه پاگيري‌ي موجي‌ تار هم گفته مي‌شود تنها به فراسنج‌هاي فيزيكي‌ تار بستگي دارد و نه نيروي محرك؛به‌همين دليل پاگيري‌ي‌ مشخصه هم ناميده مي‌شود.پاگيري‌ي تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت يك عددِ‌ حقيقي است.
e-a.ir-vs02
8
 در حالتِ كلي كه نيروي وارد بر تار در نقطه‌اي به‌غير از x = 0 اعمال شود، معادله‌ي موج به شكلِ زير تغيير مي‌يابد:

e-a.ir-vs03

   چگالي‌ خطي‌ نيروبرحسبِ  N/m

اگر نيرو، مانندِ‌ حالتي كه بررسي شد، تنها در نقطه‌ي x = 0 اعمال گردد، بازهم اين معادله صادق است؛ تنها بايد توجه شود كه در اين‌حال داريم:
e-a.ir-vs04

13) لرزش‌هاي واداشته (تارِ محدود)

8

 محدود بودنِ درازاي تار و مقيدبودنِِ ‌انتهاي آن سبب مي‌گردد كه امواجِ منتشرشده از نقطه‌ي x = 0 از x = L بازتابيده شوند.e-a.ir-vs58
 
 
 
 
 
 
 
 
 
تنها حالتِ هماهنگِ ساده را بررسي مي‌كنيم.موجِ‌ هماهنگِ ايجادشده در اثرِ نيروي سينوسي‌اعمالي بر نقطه‌ي x = 0:
 e-a.ir-vs59
شرطِ مرزي در x = 0:
e-a.ir-vs60
درنتیجه:
e-a.ir-vs61

لرزش‌هاي واداشته (تارِ محدود)

8

e-a.ir-vs63

جابه‌جايي‌ي تار در x = 0برابر است با:e-a.ir-vs64
 
اين جابه‌جايي به‌ازاي e-a.ir-vs65  بيش‌ترين مقدار است؛
 
اين جابه‌جايي به‌ازاي e-a.ir-vs66  كم‌ترين مقدار است.
 
سرعتِ تار در نقطه‌ي x = 0برابر مي‌شود با:
 e-a.ir-vs67
پاگيري‌ي مكانيكي‌ي ورودي‌‌ي تار برابر است با:
e-a.ir-vs68

  كه موهومي و واكنايي‌ي خالص است.

 

14) تارهاي واقعي

8

 در عالمِ‌ واقع ممكن است:

1) تكيه‌گاه‌ها همراه با تار حركت كنند، داراي چغري باشند، و نيز هنگامِ‌حركت اصطكاك داشته باشند. باوجودِ چنين تكيه‌گاهي در x = 0، شرطِ مرزي‌‌ي متناظر عبارت مي‌شود از

 e-a.ir-vs69

2) تار با هواي پيرامونش اصطكاك داشته باشد. مقدارِ اين اصطكاك تابعِ بسامد است و با فراسنجي به‌نامِ مقاومتِ اصطكاكي‌ي كارا (effective friction resistance) كه در معادله‌ي موج نمايان مي‌گردد، نمايندگي مي‌شود:

e-a.ir-vs70

 

فرايندهاي اتلافي در تارهاي واقعي

8

 ميرايي‌ لرزشِ تارهاي لرزان، در اثرِ وجودِ سه پديده ممكن است اتفاق بيفتد:
1- اصطكاك با هوا: به چگالي، شعاع، و بسامدِ لرزش بستگي دارد؛ ثابتِ زماني‌ي ميرايي: e-a.ir-vs71
2-ميرايي‌ي داخلي: به‌دليلِ خستگي (strain)، رسانايي‌ي حرارتي، و ساييده‌شدنِ تارها به‌هم اتفاق مي‌افتد؛ ثابتِ زماني‌ي ميرايي: e-a.ir-vs72 و
3-اتلاف از راهِ تكيه‌گاه‌ها: به بسامد، درازا، و چگالي‌ي تار بستگي دارد؛ ثابتِ زماني‌ي ميرايي: e-a.ir-vs73

ثابتِ زماني‌ ميرايي‌ي كل: 

e-a.ir-vs74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ورود به سایت


برای حمایت از ما امتیاز دهید