نوشته شده توسط مهدی نوروزی فر دسته: فیزیک آکوستیک
نمایش از 03 خرداد 1392 بازدید: 5283
پرینت


 
بسمه تعالی

موجهای آکوستیکی کروی

Spherical Waves

امواج کروی

 

ایوب بنوشی- دانشکده صداوسیما -  این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید

 

1) امواجِ كروي و معادله‌ي موج؛

2) كميت‌هاي اكوستيكي در امواجِ كروي؛

3) ويژگي‌هاي امواجِ كروي‌ي هماهنگ؛

 پاگيري‌ي ويژه براي امواجِ كروي

 4) شدتِ موج‌هاي كروي؛

چگالي‌ي انرژي

 چگالي‌ي انرژي‌ ميانگين براي موج‌هاي كروي

شدت برحسبِ چگالي‌ي انرژي‌ي ميانگين

روشِ ساده‌تر براي محاسبه‌ شدت

5) مسئله‌ي كره‌ي تپنده؛

موجِ كروي‌ي يك كره‌ي تپنده

6) قدرتِ يك منبعِ صدا؛

7) چشمه‌هاي نيم‌كره‌اي‌ي صدا؛

اهميتِ چشمه‌هاي نيم‌كره‌اي

8) تابشِ اكوستيكي از يك پيستونِ لرزان؛

9) جهت‌وري‌ي يك پيستونِ لرزان

پهناي تابش، ضريب و شاخصِ جهت‌وري

 

 پیوست

 

پ1) محاسبه‌ي چگالي‌ انرژي

 


 

1) امواجِ كروي و معادله‌ي موج

8

e-a.ir-sw3
 
 
 
 
موجِ‌ منتشره از چشمه‌هاي صدا اغلب كروي است. مهم‌ترين تفاوتِ امواجِ‌ كروي با امواجِ تخت در كاهشِ دامنه‌ي آن‌ها با افزايشِ فاصله است. بر انتشارِ امواجِ كروي در شاره‌ها، معادله‌ي موجِ زير حاكم است:
 e-a.ir-sw1
 
 
 
 
مناسب‌ترين مختصات در اين حالت، مختصاتِ كروي است:
e-a.ir-sw2
 
انتشارِ كروي‌ يك موجِ صدا به‌معناي تابعيتِ اين موج تنها از همنه‌ي شعاعي است. يعني در اين‌حال داريم:
 e-a.ir-sw4
معادله‌ي موج براي يك موجِ كروي:
 e-a.ir-sw5
چون r متغيرِ مستقل و مستقل از زمان است:
 e-a.ir-sw6
 حلِ كلي‌ي اين معادله عبارت است از
e-a.ir-sw7
 

2) كميت‌هاي اكوستيكي در امواجِ‌ كروي

8

باتعميمِ روابطِ مربوط به موجِ تخت مي‌توان رابطه‌هايي مشابه براي امواجِ كروي پيدا كرد.
 رابطه‌ي فشار و شتابِ ذره‌اي:
 e-a.ir-sw8
رابطه‌ي بينِِ سرعتِ ذره‌اي و فشار:
e-a.ir-sw9
 

3) ويژگي‌هاي امواجِ كروي‌ي هماهنگ

8

براي يك موجِ كروي‌ي هماهنگِ ساده، مي‌توان رابطه‌ي بينِ فشار و سرعتِ ذره‌اي را به‌شكلِ زير ساده كرد:

e-a.ir-sw10

 

پاگيري‌ي ويژه براي امواجِ كروي

e-a.ir-sw11

e-a.ir-sw12

 

 

4) شدتِ موج‌هاي كروي

8

براي محاسبه‌ي شدتِ يك موجِِ كروي، ابتدا سرعتِ ذره‌اي، و سپس چگالي‌ي انرژي را مي‌يابيم. براي سادگي، اين محاسبه‌ها درحالتِ هماهنگ انجام مي‌شود:

e-a.ir-sw13

 

انتشارِ يك موجِ اكوستيكي در يك شاره، باعثِ ايجادِ انرژي در آن شاره مي‌شود. اين انرژي بخشي جنبشي است كه به حركتِ ذره‌هاي شاره مربوط است، و بخشي پتانسيل است و به متراكم‌شدنِ شاره بازمي‌گردد. مي‌توان نشان داد كه براي يك موجِ اكوستيكي‌ي تخت، چگالي‌ي انرژي‌ي ايجادشده در شاره در هر لحظه از رابطه‌ي زير به‌دست مي‌آيد:

 e-a.ir-sw14

از آن‌جاكه در استخراجِ اين رابطه از ويژگي‌هاي موجِ تخت استفاده نشده است، براي امواجِ كروي نيز صدق مي‌كند.

 

براي محاسبه‌ي ميانگينِِ زماني‌ي اين انرژي‌ها، از روابطِ مربوط به امواجِ كروي استفاده مي‌كنيم:

e-a.ir-sw15
e-a.ir-sw16

 

e-a.ir-sw17
 e-a.ir-sw18
 

شدت برحسبِ چگالي‌ي انرژي‌ي ميانگين

چون در يك موجِ كروي، سرعتِ ذره‌اي با فشار هم‌فاز نيست، شدتِ اكوستيكي با حاصل‌ضربِ چگالي‌ي انرژي در سرعتِ موج به‌دست نمي‌آيد. ثابت مي‌شود براي امواجِ كروي:

e-a.ir-sw19 
 
 

روشِ ساده‌تر براي محاسبه‌ي شدت

 

e-a.ir-sw20

5) مسئله‌ي كره‌ي تپنده

8

كره‌ي تپنده (pulsating sphere) كره‌اي است كه اندازه‌ي شعاعش تابعي سينوسي از مكان و زمان باشد.كره‌ي تپنده ساده‌ترين چشمه‌اي است كه مي‌تواند موج‌هاي كروي‌ي هماهنگ توليد كند. اين موجِ هماهنگ به‌شكلِ زير پيدا مي‌شود:

سرعتِ هر نقطه از محيطِ يك كره‌ي تپنده: e-a.ir-sw21

سرعتِ ذره‌اي‌ي موجِ اكوستيكي در مجاورتِ اين سطح با سرعتِ نقاطِ روي سطح برابر است:

e-a.ir-sw22
 

موجِ كروي‌ي يك كره‌ي تپنده

دامنه‌ي موجِ كروي‌ي حاصل برابر مي‌گردد باe-a.ir-sw23
 
e-a.ir-sw24
  
در حالتي‌كه 1>>ka(شعاعِ كره نسبت به طولِ‌موج كوچك) است:
 e-a.ir-sw26

 فشارِ اكوستيكي‌ي اين موج برابر مي‌شود با

e-a.ir-sw27

6) قدرتِ يك منبعِ صدا

8

قدرتِ (strength) يك منبعِ صدا به‌سطحِ S عبارت است از  
e-a.ir-sw29
قدرتِ  يك كره‌ي تپنده:
 e-a.ir-sw28

درحالتي ‌كه طولِ‌موجِِ صداو نيزفاصله ازچشمه خيلي ازابعادِچشمه بزرگ‌ترباشد ( 1>>kaوa<<r )، شكلِ چشمه اثري بر تابشِ صدا ندارد و مي‌توان آن را معادلِ يك كره‌ي تپنده گرفت. شدت و توانِ چنين منبعي برابر مي‌شود با

e-a.ir-sw31
 
8

e-a.ir-sw35

 

يك چشمه‌ي نيم‌كره‌اي را مي‌توان چشمه‌اي كره‌اي تصور كرد كه نيمه‌اي از آن داخلِ يك خفه‌كن (ديوارك ـ baffle) قرار گرفته است.

اگر سرعتِ نقاطِ روي سطحِ اين نيم‌كره كماكان U0باشد، قدرتِ آن نصفِ قدرتِ يك چشمه‌ي كره‌اي خواهد بود:

e-a.ir-sw32

فشارِ اكوستيكي‌ي ايجادشده توسطِ اين چشمه:

 e-a.ir-sw33
 شدت و توانِ آن:
e-a.ir-sw34
 

اهميتِ چشمه‌هاي نيم‌كره‌اي

فشارِ اكوستيكي‌ي يك چشمه‌ي صدا با سطحِ وسيع را مي‌توان مجموع فشارِِ چشمه‌هاي صدايي با سطوحِ كوچك دانست. فشارِ اكوستيكي‌ي حاصل از يك سطحِ كوچك به‌مساحتِ ‌dS و سرعتِ لرزشِ U، در فاصله‌‌ي 'r : 

e-a.ir-sw36

فشارِِ نظيرِ حاصل از كلِ چشمه :  e-a.ir-sw37

 

8) تابشِ اكوستيكي از يك پيستونِ لرزان

8

e-a.ir-sw38

 

 

 

پيستونِ لرزان معمولاً به پيستوني سخت (يا ستوني از هوا) گفته مي‌شود كه در يك خفه‌كن نصب شده باشد و همه‌ي نقاطِ روي سطحِ‌مقطعِِ آزادش به‌صورتِ هماهنگِ ساده و هم‌فاز بلرزد.فشارِ اكوستيكي‌ي حاصل از لرزشِ اين پيستون يكي از مواردي است كه مي‌توان آن را به‌كمكِ روشِ گفته‌شده پيدا كرد.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
e-a.ir-sw41
 
 
 
 

لرزش‌هاي قاعده‌ي آزادِ استوانه همواره بر سطحِ آن عمود است، پس فشارِ‌ اكوستيكي‌ي حاصل از عنصرِ سطحِِ ديفرانسيلي‌ي مفروض برابر مي‌شود با

e-a.ir-sw39 

 

براي يافتنِ فشارِ اكوستيكي‌ي كل بايد از رابطه‌ي بالا روي كلِ سطحِ قاعده‌ي استوانه انتگرال گرفت. به اين منظور بايد 'r  را برحسبِ  r  و  σ  بيان كنيم:

e-a.ir-sw40

 

درحالتِ كلي انتگرالِ حاصل غيرقابلِ حل است، مگر اين‌كه فاصله‌ي نقطه‌ي تحتِ سنجش از شعاعِ استوانه بسيار بزرگ‌تر باشد، كه در اين‌حالت خواهيم داشت:

e-a.ir-sw42

اكنون با اين‌ فرضِ ساده‌كننده مي‌توانيم انتگرالِِ ‌مربوطه را حل كنيم:

e-a.ir-sw43

 

9) جهت‌وري‌ يك پيستونِ لرزان

8

فشارِ شاكوستيكي‌ي يك پيستونِ لرزان را مي‌توان برحسبِ قدرتش نوشت : e-a.ir-sw44

e-a.ir-sw45

e-a.ir-sw46

 

پهناي تابش، ضريب و شاخصِ جهت‌وري

پهناي هريك از لپ‌هاي الگوي تابش، به‌ويژه لپِِ ‌اصلي را برحسبِ dB مي‌سنجند.

بر اين اساس پهناي بندِ  3 dB، 6 dB، 10 dB، و يا هر مقدارِ دل‌خواهي ديگر تعريف مي‌شود.

ضريبِِ جهت‌وري‌ي يك چشمه در يك صفحه و جهتِ‌ خاص، عبارت است از نسبتِ شدتِ آن به شدتِ يك چشمه‌ي كروي با همان توان.اگر ضريبِ جهت‌وري برحسبِ dB بيان شود، شاخصِ جهت‌وري گفته مي‌شود.

e-a.ir-sw47

 


پیوست

 8

پ1) محاسبه‌ي چگالي‌ انرژي

براي محاسبه‌ي چگالي‌ي انرژي، يك حجمِ ديفرانسيلي به‌طولِ dx، و به‌حجمِ V0 از شاره‌اي را كه موجي اكوستيكي و تخت در آن روان است، درنظر مي گيريم:

انرژي‌ي جنبشي‌ي ذراتِ موجود در اين حجم : 

e-a.ir-sw48

انرژي‌ي پتانسيل:

 e-a.ir-sw49

 

كلِ ‌انرژي‌ي موجود در شاره برابر مي‌شود با

e-a.ir-sw50

 و چگالي‌ي انرژي عبارت مي‌گردد از

 e-a.ir-sw51

 

 

 

 

 

 

 

 

ورود به سایت


برای حمایت از ما امتیاز دهید