نوشته شده توسط مهدی نوروزی فر دسته: فیزیک آکوستیک
نمایش از 02 خرداد 1392 بازدید: 3412
پرینت

بسمه تعالی

پوسته های مرتعش

Vibrating Membranes

ایوب بنوشی - دانشکده صداوسیما- این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید

 

1) پوسته‌ها و ورقه‌ها؛

2) لرزش‌هاي يك پوسته‌ي لرزان؛

3) استخراجِ معادله‌ي لرزشِ يك پوسته؛

4) حلِ معادله‌ِ لرزشِ يك پوسته؛

5) لرزش‌هاي يك پوسته‌ي چهارگوش با لبه‌هاي مقيد؛

6) لرزش‌هاي يك پوسته‌ي گرد با لبه‌هاي مقيد؛

7) لرزش‌هاي متقارنِ يك پوسته‌ي گرد با لبه‌هاي مقيد؛

8) سطحِ معادلِ يك چشمه‌ي صدا؛

 


 

1) پوسته‌ها و ورقه‌ها

8

اجسامي كه يك بعدشان درمقايسه با دو بعدِ ديگرِِِ آن‌ها خيلي كوچك‌ است، به دو گروهِ پوسته‌ها(membranes) و ورقه‌ها(plates) تقسيم مي‌شوند.

  • پوسته‌ها داراي چغري‌ي ناچيز هستند و كششِ لبه‌هاي آن‌ها مي‌تواند نيروي بازگردانِِ لازم براي لرزش‌هاي موجي در آن‌ها را فراهم نمايد.
  • در ورقه‌ها چغري بر كششِ لبه‌ها مي‌چربد، و نيروي بازگردان از اين پديده سرچشمه مي‌گيرد.

 

2) لرزش‌هاي يك پوسته‌ي لرزان

8

معادله‌ي حاكم بر لرزش‌هاي عرضي‌ي يك پوسته‌ي لرزان عبارت است از : 

 e-a.ir-vm1

 براي استخراجِ اين معادله فرض شده است:

  • پوسته بسيار نازك است؛
  • پوسته يكنواخت است؛
  • دامنه‌ي لرزشِ پوسته بسيار كوچك است؛
  • پوسته كاملاً كشسان است؛
  • ميرايي‌ي پوسته ناچيز است.

 

3) استخراجِ معادله‌ي لرزشِ يك پوسته

8

e-a.ir-vm2

 

 

 

يك پوسته‌ي لرزان را مي‌توان تعميم‌يافته‌ي يك تارِ لرزان دانست. از اين‌رو روشِ استخراجِ معادله‌ي حاكم بر لرزش‌هاي يك پوسته‌ي لرزان بسيار شبيه‌به يك تارِ لرزان است.براي استخراجِ معادله‌ي لرزش، يك عنصرِ ديفرانسيلي از پوسته‌‌اي را كه در سطحِ x-y قرار دارد درنظر مي‌گيريم.

 

 

 

  

برايند نيروهاي واردشده بر اين عنصر، درجهتِ z عبارت مي‌شوداز:

e-a.ir-vm5

 

برايندِ درجهتِ z ِ نيروهاي وارد بر لبه‌هاي درراستاي y:  

e-a.ir-vm3

 

 

e-a.ir-vm6

 

 

برايندِ درجهتِ z ِ نيروهاي وارد بر لبه‌هاي در راستاي x:

 

e-a.ir-vm4

 

 

براساسِ قانونِ دومِ نيوتن، برايندِ كلِ نيروهاي وارد بر پوسته بايد با شتابِ اين پوسته برابر شود: 

e-a.ir-vm7

 

 به‌عبارتِ ساده‌تر: 

e-a.ir-vm8

 

درحالت كلي و براي تمامِ دستگاه‌هاي مختصات:

e-a.ir-vm10

 

4) حلِ معادله‌ي لرزشِ يك پوسته

8

معادله‌ي لرزشِ يك پوسته را مي‌توان باروشِ جداسازي متغيرها حل كرد:  

e-a.ir-vm11

 درنتيجه e-a.ir-vm12مي‌شود.معادله هلمهولتزِ مربوطه را بايدبااستفاده از شرايطِ مرزي داده‌شده حل كرد.

 

5) لرزش‌هاي يك پوسته‌ي چهارگوش با لبه‌هاي مقيد

8

براي پوسته‌اي به‌درازاي  Lx و پهناي  Ly كه از چهارطرف مقيد است، داريم:

e-a.ir-vm13

براي اين پوسته، آسان‌تر است معادله‌ي هلمهولتز را درمختصاتِ دكارتي حل كنيم:

e-a.ir-vm14

 

به اين‌ترتيب پاسخِ كلي براي يك پوسته‌ي لرزان عبارت مي‌شود از :

e-a.ir-vm15

 اعمالِ شرايطِ مرزي در x,y = 0:

e-a.ir-vm16

اعمالِ شرايطِ مرزي در  Lx:

e-a.ir-vm17

اعمالِ شرايطِ مرزي در  Ly:

e-a.ir-vm18

درنتيجه:

e-a.ir-vm19

 

باتوجه به اين‌كه e-a.ir-vm20بسامدِ آمودهاي لرزشِ يك پوسته‌ي ايده‌آلِ چهارگوشِ مقيد  از رابطه‌ي زير به‌دست مي‌آيد: 

e-a.ir-vm21

 چند نكته درباره‌ي اين آمودها:

  • بسامدپايه عبارت است ازe-a.ir-vm22
  • رونغمه‌هايي كه براي آن‌ها e-a.ir-vm23 است، هماهنگ‌هايي از بسامدپايه هستند؛
  • رونغمه‌هايي با e-a.ir-vm24 لزوماً هماهنگ‌هاي بسامدپايه نيستند.

 

membranerect1

http://resource.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/Tutorial_files/Web-standing-membrane.htm

6) لرزش‌هاي يك پوسته‌ي گرد با لبه‌هاي مقيد

8

براي يافتنِ معادله‌ي لرزش‌هاي يك پوسته‌ي گردِ مقيد، به‌تر است معادلاتِ مربوطه را در مختصاتِ استوانه‌اي (قطبي) نوشته و حل كنيم:

 

e-a.ir-vm25

 

براي حلِ اين معادله‌ي موج، بارديگر از روشِ جداسازي‌ي متغيرها استفاده مي‌كنيم:  

e-a.ir-vm26

 

پس از ساده‌سازي خواهيم داشت:

e-a.ir-vm27

 

به اين‌ترتيب دو معادله‌ي مستقل ازهم خواهيم داشت: 

e-a.ir-vm28

  اين معادله‌ي بسل داراي پاسخي به‌شكلِ زير است: 

e-a.ir-vm29

 از آن‌جا كه e-a.ir-vm30 و دامنه‌لرزش در مركز پوسته مقداري محدوداست، بايد B=0 شود. در نتيجه:

e-a.ir-vm31

 بااعمالِ شرطِ مرزي خواهيم داشت:

e-a.ir-vm32

 

e-a.ir-vm35

 e-a.ir-vm33

 

 

e-a.ir-vm34

mem

e-a.ir-vm00

 

membranecirccirc

http://resource.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/Tutorial_files/Web-standing-membrane.htm

 

7) لرزش‌هاي متقارنِ يك پوسته‌ي گرد با لبه‌هاي مقيد

8

معادله‌ي لرزش‌هاي آزادِ يك پوسته‌ي گرد عبارت مي‌شود از:

e-a.ir-vm36

 

 معادله‌ي آمودهاي متقارنِ اين لرزش (مستقل از q) كه به‌ازاي m = 0 به‌دست مي‌آيند، عبارتند از:

e-a.ir-vm37

 

معادله‌ي لرزشِ متقارن برابر مي‌شود با : 

e-a.ir-vm38

 

besselj

 

 

 

 

 

باتوجه به تغييراتِ تابعِِ بسلِ مرتبه‌ِي صفر، مي‌بينيم كه بين هر دو دايره‌ي ايستماني‌ي متوالي، جابه‌جايي‌ي پوسته 180 درجه تغييرِ فاز دارد، پس ميانگين اين جابه‌جايي كوچك است.

 

 

ميانگينِ انرژي‌ي تابيده شده تابعي از ميانگينِ جابه‌جايي پوسته است، از اين‌رو ميانگينِ انرژي‌ تابيده‌شده هم در اين آمودها كوچك مي‌شود.

e-a.ir-vm39

 

8) سطحِ معادلِ يك چشمه‌ي صدا

8

براي بيش‌تر منابعِِ صدا، حجمِ هواي جابه‌جاشده در مجاورتِ منبع اهميت دارد و نه شكلِ سطحِ‌مقطعِ آن؛ ار اين‌رو  براي سطحِ لرزانِ اين منابع يك مساحتِ‌ معادل تعريف مي‌شود.از ديدگاهِ حجمِ هواي جابه‌جاشده، هر پوسته‌ي لرزان  را مي‌توان معادل با پيستوني به مساحتِ Seq (مساحت معادل پوسته)، و ارتفاعِ ζeq (جابجایی میانگین پوسته) درنظر گرفت؛ براي آمودِ اصلي‌ يك پوسته‌ي گردِ مقيد: 

 e-a.ir-vm40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ورود به سایت


برای حمایت از ما امتیاز دهید