نوشته شده توسط مهدی نوروزی فر دسته: فیزیک آکوستیک
نمایش از 23 ارديبهشت 1392 بازدید: 3376
پرینت


 

بسمه تعالی

مسئله شمش لرزان

Vibrating Bar

ایوب بنوشی - دانشکده صداوسیما -  این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید

1) لرزش‌هاي ممكن در يك شمش؛

2) لرزش‌هاي طولي در يك شمش؛

3) استخراجِ معادله‌ي لرزش‌هاي طولي؛

 مدولِ يانگ

 برآيندِ نيروهاي واردشده بر عنصرِ ديفرانسيلي‌ي شمش

معادله‌ي حركت

4) پاسخِ كلي‌ معادله‌ي موجِ طولي؛

5) پاسخِ هماهنگِ معادله‌ي موجِ طولي؛

6) حلِ معادله‌ي موجِ طولي براي شمش‌هاي بارشده؛

حلِ معادله‌ي موجِ طولي براي شمش‌هاي بارشده: پاگيري‌ مكانيكي

7) لرزشِ عرضي در يك شمش؛

8) استخراجِ معادله‌ي موجِ عرضي در يك شمش؛

استخراجِ معادله‌ي موجِ ‌عرضي: زاويه‌ي چرخش و ممان

استخراجِ معادله‌ي موجِ ‌عرضي: نيروهاي برشي

 استخراجِ معادله‌ي موجِ ‌عرضي: معادله‌ي حركتِ عرضي

9) پاسخِ معادله‌ي موجِ عرضي براي شمشِ لرزان؛

پاسخ‌هاي معادله‌ي موجِ ‌عرضي: سرعتِ فاز

10) شرايطِ مرزي‌ي گوناگون براي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمش؛

11) مشخصه‌هاي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمشِ مقيدـ آزاد؛

12)مشخصه‌هاي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمشِ آزادـ آزاد.



1) لرزش‌هاي ممكن در يك شمش

8

دريك شمش لرزش‌هاي عرضي و طولي ممكن است پديد آيند.

  • لرزش‌هاي عرضي در اثرِ نيروهاي عمودي پديد مي‌آيند؛
  • لرزش‌هاي عرضي را گاهي لرزش‌هاي خمشي (bending wave) نيز مي‌گويند؛
  • لرزش‌هاي طولي در اثرِ نيروهاي طولي پديد مي‌آيند؛
  • لرزش‌هاي طولي معمولاً با لرزش‌هاي عرضي همراهند (اثرِ پواسن).

در يك تارِ منعطف، نيروي بازگردان بيش‌تر از كششِ تار ناشي مي‌شود، اما در يك شمش اين نيروي بازگردان بيش‌تر ناشي از چغري است.

كشش براي يك شمش و چغري براي يك تار در رده‌ي دومِ اهميت هستند.

 2) لرزش‌هاي طولي در يك شمش

8

e-a.ir-vb1

 

 3) استخراجِ معادله‌ي لرزش‌هاي طولي‌ي يك شمش

8

براي به‌دست‌آوردنِ معادله‌ي لرزشِ طولي‌ي  يك شمش، قطعه‌اي به‌درازاي L، مدولِ يانگِ E و سطحِ‌مقطعِِِ S را درنظر 
مي‌گيريم. 
e-a.ir-vb2

فرض‌هاي ساده‌كننده: 

  • ابعادِ‌ عرضي‌ي شمش نسبت به درازاي آن كوچك است؛
  • اثرِ پواسن ناچيز است؛
  • نيروهاي وارد‌شده به شمش و لرزشِ شمش در امتدادِ طولي‌ي آن است؛
  • سطحِ‌مقطعِ شمش يكنواخت است.

 

اگر نيروي واردشده به شمش تابع زمان باشد، جابه‌جايي‌ي هر مقطعِ عرضي‌ِ اين شمش تابعي از زمان و فاصله‌ي اين مقطع از ابتداي ميله مي‌شود: e-a.ir-vb5 
e-a.ir-vb3

 

 

 

در اثرِ اعمالِ نيروي متغيرِ f، درازاي طولِ ديفرانسيلي‌ي dxاز اين شمش تغيير مي‌كند:e-a.ir-vb6

 
 
 
e-a.ir-vb4
 
 
يك شمشِ چغر درمقابلِ تغييرِِ طول از خود يك مقاومتي نشان مي‌دهد، اين مقاومت باعث مي‌شود در هر مقطع از شمش نيروهاي كشسان پديد آيد:

اگر نيروي ايجادشده مثبت باشد، شمش درحالِ فشرده‌شدن است؛

اگر نيروي ايجادشده منفي باشد، شمش درحالِ كشيده‌شدن است.


e-a.ir-vb7

 مدولِ يانگ:

8

نسبتِ تنشِ ايجادشده در يك مقطع از يك ماده‌ي جامد به كرنش در آن مقطع، مقداري ثابت است كه به آن مدولِ‌ يانگ مي‌گويند.
e-a.ir-vb8
 
 
 
 
 
مدولِ يانگ از مشخصه‌هاي جامدات است.
 
 
e-a.ir-vb9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

e-a.ir-vb10

 

معادله‌ي حركت:

8

اگر معادله‌ي حركت (قانونِ دومِ نيوتن) را براي اين عنصرِ متحرك بنويسيم، خواهيم داشت:

e-a.ir-vb11
 
 
 
 
                                             
 
 
 
 
                                               ρ: چگالي‌ي شمش 

 

 4) پاسخِ كلي‌ي معادله‌ي موجِ طولي

8

به‌دليل يكساني‌ي معادله‌ي موجِ‌ طولي در يك شمش با معادله‌ي موجِ عرضي در يك تار، پاسخ‌هاي اين دو معادله بسيار شبيه به‌هم هستند، طوري‌كه معادله‌ي موجِ طولي نيز داراي يك پاسخِِ كلي به‌شكلِ پاسخِ‌ِ دالامبر است:
 
 e-a.ir-vb13
يعني در اين حالت نيز، پاسخ از دو موجِ رونده به چپ و راست تشكيل مي‌شود.
 

5) پاسخِ هماهنگ براي معادله‌ي موجِ طولي

8

اگر توابعِ f و g در پاسخِ كلي‌ي معادله‌ي موج را دو موجِ هماهنگِ ساده‌ي هم‌بسامد كه درخلافِ جهتِ هم حركت مي‌كنند درنظر بگيريم، خواهيم داشت:
e-a.ir-vb14
 
مانندِ موردِ موجِ ‌عرضي در يك تارِ لرزان:
  •  شرطِ مرزي در x = 0، رابطه‌ي بينِ A و B را به‌دست مي‌دهد؛
  • شرطِ مرزي در x = L، بسامدهاي لرزش را به آمودهاي طبيعي‌ي شمش محدود مي‌كند؛ و
  • شرايطِ اوليه مقدار A را تعيين مي‌نمايد.
 e-a.ir-vb15
 e-a.ir-vb16

e-a.ir-vb17

تفاوتِ لرزشِ يك شمشِ آزادـ آزاد با يك شمشِ مقيدـ مقيد

 

6) حلِ معادله‌ موجِ طولي براي شمش‌هاي بارشده

8

هرگاه يكي از سرهاي يك شمش نه آزاد باشد و نه مقيد، حالتي پيش مي آيد كه گويي يك جرمِ اضافي به سرِ شمش متصل شده و با آن حركت مي‌كند. اين حالت را شمشِِِ بارشده (mass loaded bar) مي‌گويند.
اين شرايط حالتي شبيه به لرزش‌هاي واداشته‌ي يك تار پيش مي‌آورد.
 e-a.ir-vb18
 
اعمالِ شرايطِ مرزي‌ي نشان‌داده‌شده در شكلِ روبه‌رو بر پاسخِ هماهنگِ معادله‌ي موجِ طولي نتيجه مي‌دهد:
e-a.ir-vb20
 
 
e-a.ir-vb19 
  
اين معادله‌ي غيرجبري در حالتِ كلي پاسخي صريح ندارد؛ هرچند
 
e-a.ir-vb21
 
e-a.ir-vb22
 
8
براي حلِ معادله‌ي موجِ يك شمشِ بارشده، استفاده از مفهومِ پاگيري مي‌تواند مفيد باشد.
e-a.ir-vb23
 

7) لرزشِ عرضي در يك شمش

8

يك شمش به‌دليلِ وجودِ نيروهاي كشساني‌ داخلي (كه نقشِ نيروهاي بازگردان را بازي مي‌كنند)، مي‌تواند بدونِ نياز به نيروي‌ كشش هم بلرزد.معادله‌ي حاكم بر لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمش عبارت است از:
  • e-a.ir-vb24
 
شعاعِ‌ِ چرخشِ سطحِ‌مقطعِ   (A: (radius of gyration
e-a.ir-vb25
 
8
محورِ خنثا: محوري كه هنگامِ خمشِ شمش درازايش تغيير نمي‌كند.براي يك شمشِ همگن، محورِ خنثا بر محورِ تقارن منطبق است.
e-a.ir-vb26-0
 
  
در اثرِ خمش، درازاي
  • ليفه‌هايي كه در زيرِ محورِ خنثا باشند، كم مي‌شود؛
  • ليفه‌هايي كه در بالاي محورِ خنثا باشند، زياد مي‌شود.
 
 
  

استخراجِ معادله‌ي موجِ ‌عرضي: زاويه‌ي چرخش و ممان 

  • به‌دليلِ تقارن، برايندِ نيروهاي طولي‌ي وارد بر سطوحِ جانبي‌ي شمش صفر است:e-a.ir-vb27
  •  
  •  
  •  
  • ممانِ‌ِ حاصل از نيروهاي طولي‌ي وارد بر دو سوي شمش باعثِ خمشِ اين سطوح به‌اندازه‌ي f مي‌شود.
  •  
  •  
  • اگر ليفه‌اي به سطحِ‌مقطعِ dA، به‌فاصله‌ي r از محورِ خنثا را در نظر بگيريم، طبقِ تعريفِ مدولِِ يانگ، تنشِ واردشده بر آن برابر مي‌شود با:e-a.ir-vb28
 
 
 
 
 
اگر مقدارِ خمش كوچك باشد (  e-a.ir-vb29 )  :   e-a.ir-vb30
 
 
ممانِ مربوط به اين تغييرِ درازا برابر مي‌شود با:
 e-a.ir-vb31     e-a.ir-vb33
 
 
درنتيجه  :    e-a.ir-vb32
 براي اين‌كه رابطه‌ي بينِ ممان و جابه‌جايي‌ عرضي را پيدا كنيم، زاويه‌ي انحرافِ   را برحسبِِ شيبِ ليفه در دو سرش 
e-a.ir-vb36بيان مي‌كنيم:
 
 
 
 
e-a.ir-vb34   
 پس:
e-a.ir-vb35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ممانِ خمشي براي همه‌ي بخش‌هاي يك شمش ثابت نيست و تابعِ x مي‌باشد. براي حفظِ تعادل، اختلافِ بينِ ممان‌هاي واردشده بر دوسرِ شمش بايد با يك نيروي برشي‌ي F جبران شود. ممانِ حاصل از اين نيروي برشي بايد با تفاوتِ ممانِ خمشي (dM) در دوسرِ شمش برابر شود:e-a.ir-vb37
 
 

8

نيروهاي برشي خود تابعي از x و در دوسرِ شمش متفاوت هستند. در نتيجه برايندِ نيروهاي عرضي‌ي واردشده برe-a.ir-vb38ليفه‌اي به‌درازاي dx صفر نيست و برابر مي‌شود با:
 e-a.ir-vb39
اين نيرو موجبِ شتابِ ليفه درراستاي عمود مي‌گردد: 
e-a.ir-vb40
 
به اين ترتيب معادله‌ي موجِ عرضي به‌شكلِ زير به‌دست مي‌آيد:
e-a.ir-vb42
 

9) پاسخ‌هاي معادله‌ي موجِ ‌عرضي

8

معادله‌ي موجِ عرضي داراي پاسخي به شكلِ پاسخِ دالامبر نيست.معادله‌ي موجِ عرضي را مي‌توان با روشِِ جداسازي‌ متغييرها حل كرد:
e-a.ir-vb43
 
 
با عملياتي ساده مي‌توان پاسخِ عمومي‌ي  معادله‌ي مربوط به   e-a.ir-vb44   را پيدا كرد:
 
 e-a.ir-vb45
 
پاسخِ حقيقي‌ نظير به اين جواب عبارت است از
 
e-a.ir-vb46
 

پاسخ‌هاي معادله‌ي موجِ ‌عرضي: سرعتِ فاز

8

(y(x,t داراي چهار جمله است:
e-a.ir-vb47
 
e-a.ir-vb49
 
شرايطِ مرزي: مثال
e-a.ir-vb50
 
8
e-a.ir-vb53
e-a.ir-vb51
 
e-a.ir-vb52
 
شمش‌هاي فلزي بيش‌تر با بسامدپايه‌ي خود مي‌لرزند.
 

e-a.ir-vb56

e-a.ir-vb57

e-a.ir-vb58

 

 

 

 

 

ورود به سایت


برای حمایت از ما امتیاز دهید