بسمه تعالی
مسئله شمش لرزان
Vibrating Bar
ایوب بنوشی - دانشکده صداوسیما - این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید
1) لرزش‌هاي ممكن در يك شمش؛
2) لرزش‌هاي طولي در يك شمش؛
3) استخراجِ معادله‌ي لرزش‌هاي طولي؛
برآيندِ نيروهاي واردشده بر عنصرِ ديفرانسيلي‌ي شمش
4) پاسخِ كلي معادله‌ي موجِ طولي؛
5) پاسخِ هماهنگِ معادله‌ي موجِ طولي؛
6) حلِ معادله‌ي موجِ طولي براي شمش‌هاي بارشده؛
حلِ معادله‌ي موجِ طولي براي شمش‌هاي بارشده: پاگيري مكانيكي
7) لرزشِ عرضي در يك شمش؛
8) استخراجِ معادله‌ي موجِ عرضي در يك شمش؛
استخراجِ معادله‌ي موجِ عرضي: زاويه‌ي چرخش و ممان
استخراجِ معادله‌ي موجِ عرضي: نيروهاي برشي
استخراجِ معادله‌ي موجِ عرضي: معادله‌ي حركتِ عرضي
9) پاسخِ معادله‌ي موجِ عرضي براي شمشِ لرزان؛
پاسخ‌هاي معادله‌ي موجِ عرضي: سرعتِ فاز
10) شرايطِ مرزي‌ي گوناگون براي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمش؛
11) مشخصه‌هاي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمشِ مقيدـ آزاد؛
12)مشخصه‌هاي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمشِ آزادـ آزاد.
1) لرزش‌هاي ممكن در يك شمش
دريك شمش لرزش‌هاي عرضي و طولي ممكن است پديد آيند.
- لرزش‌هاي عرضي در اثرِ نيروهاي عمودي پديد مي‌آيند؛
- لرزش‌هاي عرضي را گاهي لرزش‌هاي خمشي (bending wave) نيز مي‌گويند؛
- لرزش‌هاي طولي در اثرِ نيروهاي طولي پديد مي‌آيند؛
- لرزش‌هاي طولي معمولاً با لرزش‌هاي عرضي همراهند (اثرِ پواسن).
در يك تارِ منعطف، نيروي بازگردان بيش‌تر از كششِ تار ناشي مي‌شود، اما در يك شمش اين نيروي بازگردان بيش‌تر ناشي از چغري است.
كشش براي يك شمش و چغري براي يك تار در رده‌ي دومِ اهميت هستند.
2) لرزش‌هاي طولي در يك شمش
3) استخراجِ معادله‌ي لرزش‌هاي طولي‌ي يك شمش
براي به‌دست‌آوردنِ معادله‌ي لرزشِ طولي‌ي يك شمش، قطعه‌اي به‌درازاي L، مدولِ يانگِ E و سطحِ‌مقطعِِِ S را درنظر
مي‌گيريم.
فرض‌هاي ساده‌كننده:
- ابعادِ عرضي‌ي شمش نسبت به درازاي آن كوچك است؛
- اثرِ پواسن ناچيز است؛
- نيروهاي واردشده به شمش و لرزشِ شمش در امتدادِ طولي‌ي آن است؛
- سطحِ‌مقطعِ شمش يكنواخت است.
اگر نيروي واردشده به شمش تابع زمان باشد، جابه‌جايي‌ي هر مقطعِ عرضي‌ِ اين شمش تابعي از زمان و فاصله‌ي اين مقطع از ابتداي ميله مي‌شود: 
در اثرِ اعمالِ نيروي متغيرِ f، درازاي طولِ ديفرانسيلي‌ي dxاز اين شمش تغيير مي‌كند:
يك شمشِ چغر درمقابلِ تغييرِِ طول از خود يك مقاومتي نشان مي‌دهد، اين مقاومت باعث مي‌شود در هر مقطع از شمش نيروهاي كشسان پديد آيد:
اگر نيروي ايجادشده مثبت باشد، شمش درحالِ فشرده‌شدن است؛
اگر نيروي ايجادشده منفي باشد، شمش درحالِ كشيده‌شدن است.
مدولِ يانگ:
نسبتِ تنشِ ايجادشده در يك مقطع از يك ماده‌ي جامد به كرنش در آن مقطع، مقداري ثابت است كه به آن مدولِ يانگ مي‌گويند.
مدولِ يانگ از مشخصه‌هاي جامدات است.
معادله‌ي حركت:
اگر معادله‌ي حركت (قانونِ دومِ نيوتن) را براي اين عنصرِ متحرك بنويسيم، خواهيم داشت:
ρ: چگالي‌ي شمش
4) پاسخِ كلي‌ي معادله‌ي موجِ طولي
به‌دليل يكساني‌ي معادله‌ي موجِ طولي در يك شمش با معادله‌ي موجِ عرضي در يك تار، پاسخ‌هاي اين دو معادله بسيار شبيه به‌هم هستند، طوري‌كه معادله‌ي موجِ طولي نيز داراي يك پاسخِِ كلي به‌شكلِ پاسخِِ دالامبر است:
يعني در اين حالت نيز، پاسخ از دو موجِ رونده به چپ و راست تشكيل مي‌شود.
5) پاسخِ هماهنگ براي معادله‌ي موجِ طولي
اگر توابعِ f و g در پاسخِ كلي‌ي معادله‌ي موج را دو موجِ هماهنگِ ساده‌ي هم‌بسامد كه درخلافِ جهتِ هم حركت مي‌كنند درنظر بگيريم، خواهيم داشت:
مانندِ موردِ موجِ عرضي در يك تارِ لرزان:
- شرطِ مرزي در x = 0، رابطه‌ي بينِ A و B را به‌دست مي‌دهد؛
- شرطِ مرزي در x = L، بسامدهاي لرزش را به آمودهاي طبيعي‌ي شمش محدود مي‌كند؛ و
- شرايطِ اوليه مقدار A را تعيين مي‌نمايد.
تفاوتِ لرزشِ يك شمشِ آزادـ آزاد با يك شمشِ مقيدـ مقيد
6) حلِ معادله موجِ طولي براي شمش‌هاي بارشده
هرگاه يكي از سرهاي يك شمش نه آزاد باشد و نه مقيد، حالتي پيش مي آيد كه گويي يك جرمِ اضافي به سرِ شمش متصل شده و با آن حركت مي‌كند. اين حالت را شمشِِِ بارشده (mass loaded bar) مي‌گويند.
اين شرايط حالتي شبيه به لرزش‌هاي واداشته‌ي يك تار پيش مي‌آورد.
اعمالِ شرايطِ مرزي‌ي نشان‌داده‌شده در شكلِ روبه‌رو بر پاسخِ هماهنگِ معادله‌ي موجِ طولي نتيجه مي‌دهد:
اين معادله‌ي غيرجبري در حالتِ كلي پاسخي صريح ندارد؛ هرچند
براي حلِ معادله‌ي موجِ يك شمشِ بارشده، استفاده از مفهومِ پاگيري مي‌تواند مفيد باشد.
7) لرزشِ عرضي در يك شمش
يك شمش به‌دليلِ وجودِ نيروهاي كشساني داخلي (كه نقشِ نيروهاي بازگردان را بازي مي‌كنند)، مي‌تواند بدونِ نياز به نيروي كشش هم بلرزد.معادله‌ي حاكم بر لرزش‌هاي عرضي‌ي يك شمش عبارت است از:
شعاعِ‌ِ چرخشِ سطحِ‌مقطعِ (A: (radius of gyration
محورِ خنثا: محوري كه هنگامِ خمشِ شمش درازايش تغيير نمي‌كند.براي يك شمشِ همگن، محورِ خنثا بر محورِ تقارن منطبق است.
در اثرِ خمش، درازاي
- ليفه‌هايي كه در زيرِ محورِ خنثا باشند، كم مي‌شود؛
- ليفه‌هايي كه در بالاي محورِ خنثا باشند، زياد مي‌شود.
استخراجِ معادله‌ي موجِ عرضي: زاويه‌ي چرخش و ممان
- به‌دليلِ تقارن، برايندِ نيروهاي طولي‌ي وارد بر سطوحِ جانبي‌ي شمش صفر است:
- ممانِ‌ِ حاصل از نيروهاي طولي‌ي وارد بر دو سوي شمش باعثِ خمشِ اين سطوح به‌اندازه‌ي f مي‌شود.
- اگر ليفه‌اي به سطحِ‌مقطعِ dA، به‌فاصله‌ي r از محورِ خنثا را در نظر بگيريم، طبقِ تعريفِ مدولِِ يانگ، تنشِ واردشده بر آن برابر مي‌شود با:
اگر مقدارِ خمش كوچك باشد ( 
) : 
) : ممانِ مربوط به اين تغييرِ درازا برابر مي‌شود با:
درنتيجه : 
براي اين‌كه رابطه‌ي بينِ ممان و جابه‌جايي عرضي را پيدا كنيم، زاويه‌ي انحرافِ را برحسبِِ شيبِ ليفه در دو سرش
بيان مي‌كنيم:
پس:
ممانِ خمشي براي همه‌ي بخش‌هاي يك شمش ثابت نيست و تابعِ x مي‌باشد. براي حفظِ تعادل، اختلافِ بينِ ممان‌هاي واردشده بر دوسرِ شمش بايد با يك نيروي برشي‌ي F جبران شود. ممانِ حاصل از اين نيروي برشي بايد با تفاوتِ ممانِ خمشي (dM) در دوسرِ شمش برابر شود:
نيروهاي برشي خود تابعي از x و در دوسرِ شمش متفاوت هستند. در نتيجه برايندِ نيروهاي عرضي‌ي واردشده بر
ليفه‌اي به‌درازاي dx صفر نيست و برابر مي‌شود با:
ليفه‌اي به‌درازاي dx صفر نيست و برابر مي‌شود با:
اين نيرو موجبِ شتابِ ليفه درراستاي عمود مي‌گردد:
به اين ترتيب معادله‌ي موجِ عرضي به‌شكلِ زير به‌دست مي‌آيد:
9) پاسخ‌هاي معادله‌ي موجِ عرضي
معادله‌ي موجِ عرضي داراي پاسخي به شكلِ پاسخِ دالامبر نيست.معادله‌ي موجِ عرضي را مي‌توان با روشِِ جداسازي متغييرها حل كرد:
با عملياتي ساده مي‌توان پاسخِ عمومي‌ي معادله‌ي مربوط به 
را پيدا كرد:
را پيدا كرد:
پاسخِ حقيقي نظير به اين جواب عبارت است از
پاسخ‌هاي معادله‌ي موجِ عرضي: سرعتِ فاز
(y(x,t داراي چهار جمله است:
شرايطِ مرزي: مثال
شمش‌هاي فلزي بيش‌تر با بسامدپايه‌ي خود مي‌لرزند.
