بسمه تعالی
تار لرزان
Vibrating String
ایوب بنوشی
این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید
دانشکده صداوسیما
1) اهميتِ تارِ لرزان؛
2) فرض‌هاي ساده‌كننده؛
3) معادلهي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك تارِ لرزان؛
4) پاسخِ عمومي‌ي معادلهي لرزشِ تار؛
5) تارِ بي‌نهايت و لرزش‌هاي آزاد؛
6) شرايطِ مرزي و بازتابِ موج؛
7) لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت؛
8) تارهاي با درازاي محدود؛
9) پاسخِ هماهنگِ ساده؛
10) لرزش‌هاي آزادِ يك تار دوسرـ مقيد؛
لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ زخمه‌خورده(plucked string)
لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ زخمه‌خورده(plucked string)
11) انرژي‌ي تارِ لرزان؛
انرژي تارِ لرزان (مثال)
12) لرزش‌هاي واداشته (تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت)؛
پاگيريي مكانيكي تار
نيروي غيرِمتمركز
13) لرزش‌هاي واداشته (تارِ محدود)؛
14) تارهاي واقعي
فرايندهاي اتلافي در تارهاي واقعي
1) اهميتِ تارِ لرزان در اكوستيك
- تمامِ سازهاي زهي داراي يك تارِ لرزان هستند كه منبعِ اوليهي توليدِ صداي آن‌ها است؛
- بعضي از مسائل در الكترومغناطيس و مكانيكِ كوانتومي برپايه‌ي تارِ لرزان حل مي‌شوند؛
- ساده‌ترين مثال از يك جسمِ لرزنده است كه به‌صورتِ پيوسته به آن نگريسته مي‌شود.
1-تار كاملاً منعطف (flexible) است (بدونِ چغري ـ stiffness)؛
2-قطرِ تار ناچيز است، در نتيجه تنها با امواجِ عرضي سروكار داريم؛
3-انتشارِ موج در تار بدونِ اتلاف است (اصطكاك با هوا وجود ندارد)؛
4-تنها نيروي وارد بر تار، كششِ اعمالي به آن است (تار فاقدِ وزن فرض مي‌شود)؛
5-جرمِ تار به‌صورتِ يكنواخت درطولِ آن توزيع شده است؛
6-جابه‌جايي‌ي تار از حالتِ تعادلش كوچك است، طوري‌كه از همنه مماسي كشش چشم‌پوشي مي‌شود؛
7-درازاي تار هنگامِِ جابه‌جايي تغيير نمي‌كند و كشش در كليه‌ي نقاطِ آن يكسان است؛
8-لرزش‌هاي تار تنها در يك صفحه‌ي گذرنده از تار بررسي مي‌شود، و جابه‌جايي كاملاً بر تار عمود است.
3) معادلهي لرزش‌هاي عرضي‌ي يك تارِ لرزان
تنها نيروي وارد بر تار، اختلافِ همنه‌هاي عمودي كشش است:
با استفاده از بسطِ تيلور و بافرضِ تقريبِ درجه‌ي اول، خواهيم داشت:
باكمكِ قانونِ دومِ نيوتن:
4) پاسخِ عمومي‌ي معادله لرزشِ تار
منظور از پاسخِ معادلهي موج، رابطه‌اي است كه موقعيتِ عمودي‌‌ي تار (y) را در هرلحظه از زمان (t) و در هر نقطهي x تعيين كند.هر معادلهي موج داراي پاسخي بدين شكل است:
اين معادله نشان مي‌دهد كه جابه‌جايي‌ي اوليهي تار به‌صورتِ دو شكلِ‌موجِ ثابتِ رونده به چپ و راست در طولِ تار منتشر مي‌گرددوسرعتِ انتشارِ موج به شكلِ موج بستگي ندارد.
معادلهي موج يك معادلهي درجه‌ي دوم است، از اين‌رو حلِ‌ِ اين معادله براي يك تارِ با درازاي بي‌نهايت كه آزادانه مي‌لرزد، نيازمندِ دو شرطِ اوليه است:
باتوجه به پاسخِ عمومي‌ي معادله موج و شرط‌هاي بالا خواهيم داشت:
با تركيبِِ دو رابطهي اخير خواهيم داشت:
و بدين ترتيب:
كه در آن داريم:
6) شرايطِ مرزي و بازتابِ موج
درعمل تارها همواره داراي درازايي محدود هستندو از دو طرف بسته مي‌شوند.اگر سرِ يك تار كاملاً محكم شده باشد، آن سر را مقيد گويند. در اين‌حال داريم:
اگر سرِ مقيدِ تار را در X = 0فرض كنيم، خواهيم داشت:
در نتيجه براي هر نقطهي تار داريم:
تقيد تنها شرطِ مرزيي ممكن براي تارها نيست. سر يك تار مي‌تواند آزاد، داراي تكيه‌گاهِ شل، و ..... باشد.سر يك تارِ لرزان مي‌تواند آزاد باشد.از آن‌جا كه در يك سرِ‌آزاد هيچ نيرويي بر تار وارد نمي‌شود، همنه‌ي عمودي‌‌ي كشش بايد صفر گردد؛ به‌عبارتِ ديگر
اگر سرِ آزادِ تار را در x = 0فرض كنيم، داريم:
در نتيجه براي هر نقطهي تار داريم:
7) لرزش‌هاي آزادِ يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت
براي تاري با درازاي بي‌نهايت كه يك سرِ‌آن در نقطهي x = 0 مقيد شده است، جابه‌جايي تار بايد رابطهي زير را دنبال كند:
از طرفي شرط‌هاي اوليه براي اين تار عبارتند از:
با اعمال اين شرايطِ اوليه بر تابعِ موج به دستگاهِ معادله‌هاي خطي‌ي مقابل مي‌رسيم:
با حلِ اين دستگاهِ معادله‌ها، تابعِ موجِ يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايتِ مقيد به‌دست مي‌آيد:
درعمل معمولاً تارها درازايي محدود دارند. يك تار با درازاي L كه دو سرش مقيد است نيز مي‌تواند آزادانه بلرزد. تقيد در x = 0باعث مي‌شود كه تابعِ موج ناچار بدين شكل باشد:
تقيد در x = Lبه اين معنا است كه بايد
در نتيجه
به‌عبارتِ ديگر
يعني لرزش‌هاي تار تناوبي خواهد شد:
شرايطِ مرزي ديگر الزاماً حركتِ تناوبي ايجاد نمي‌كنند.
ساده‌ترين و پايه‌اي‌ترين حركتِ تناوبي حركتِ هماهنگِ ساده است.اگر لرزشِ يك تارِ هماهنگِ ساده باشد، داريم:
براي يك تاري كه در يك سر مقيد است، بااعمالِ شرايطِ مرزي در {x = 0 {y(0,t) = 0 خواهيم داشت:
براي يك تارِ دوسرـ مقيد، حركتِ هماهنگِ ساده بازهم بيش‌تر محدود مي‌شود. در اين حال بااعمالِ شرايطِ مرزي در {x = L {y(L,t) = 0 خواهيم داشت:
يعني يك تارِ دوسرـ مقيد تنها مجاز است با بسامدهايي خاص بلرزد. اين بسامدها آمودهاي لرزش ناميده مي‌شوند.آمودِ نظير به n = 1، آمودِ اصلي يا بسامدپايه (fundamental) ناميده مي‌شود.آمودهاي nم كه بسامدشانِ n برابر بسامدپايه است، هماهنگ (harmonic) گفته مي‌شوند. هر آمود نظير به يك موجِ‌ِ ايستا است.فاصله‌ي هر دو ايستمان يا خيزمانِ اين امواجِ ايستا برابر است با:
ديديم كه لرزش‌هاي يك تارِ دوسرـ مقيد هميشه متناوب است.طبقِ نظريه‌ي فوريه، هر حركتي متناوب را مي‌شود به‌صورتِ مجموعي از حركت‌هاي سينوسي ساده نوشت. اين حركت‌هاي سينوسي ساده همان‌هايي هستند كه هنگامِِ بحث درباره‌ي حركتِ هماهنگِ ساده‌يك تارِ لرزان پديدار مي‌شوند. از آن‌جا كه معادلهي موج يك معادلهي خطي است، در اين شرايط، هر لرزشِ دل‌خواهِ تار را مي‌توان مجموعي از آمودهاي لرزشِ تار دانست، به عبارتي
در معادلهي پيشين An و Bn دو ثابت هستند كه باتوجه به شرايطِ اوليه پيدا مي‌شوند:
به عبارتِ ديگر An و ωnBn ضرايبِ سري‌ي فوريه‌ي توابعِ 
و 
هستند:
و هستند:
اگر بر يك تار زخمه بزنيم، داراي يك جابه‌جايي اوليه مي‌شود، اما سرعتِ اوليهي تار صفر خواهد بود.مثلاً اگر در ميانه‌ي تار بر آن زخمه بزنيم:
همه‌ي آمودهاي زوج حذف شده‌اند.
اگر بر يك تار مضراب بزنيم، داراي يك سرعتِ اوليه مي‌شود،اما جابه‌جايي اوليهي آن صفر خواهد بود.مثلاً اگر تابعِ سرعتِ اوليه به‌شكلِ نشان‌داده‌شده باشد:
انرژي يك تارِ لرزان مجموعِ انرژي پتانسيل و جنبشي آن است.براي محاسبه‌ي انرژي بايد تقريب‌هاي مرتبه‌ي دوم را منظور كنيم.
براي يك سامانه‌ي بدونِ اتلاف، بيشينه‌ي انرژي‌ي جنبشي، بيشينه‌ي انرژي‌ي پتانسيل، و انرژي‌ي كل باهم برابرند.
محاسبه‌ي انرژي‌ي بيشينه‌ي يك تارِ زخمه‌خورده در ميانه‌اش:
براي چنين وضعيتي داشتيم:
در نتيجه
يعني با افزايشِ شماره‌ي هماهنگ انرژي‌ي آن با توانِ دومِ n كاهش مي‌يابد.
12) لرزش‌هاي واداشته (تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت)
علاوه بر يك كششِ ثابت، ممكن است نيروهايي ديگر نيز بر يك تار وارد شود؛ در اين‌حال لرزش‌هاي حاصل را لرزش‌هاي واداشته (forced vibration) گويند.نيرو ممكن است بر تمامِ تار يا بر يك نقطه از آن وارد شود.
در اين‌جا تنها حالتِ ساده‌تر، يعني اعمالِ نيرو بر يك نقطه را بررسي مي‌كنيم.
فرض مي‌كنيم اعمالِ نيرو، كششِ تار در راستاي افق را ثابت نگاه داشته، و تنها كشش در راستاي عمود را تغيير دهد.
اگر يك نيروي عمودي در محلِ تكيه‌گاه بر يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت وارد شود، يك جابه‌جايي در نقطهي x = 0ايجاد مي‌شود:
موجِ حاصل از اين جابه‌جايي‌ي اوليه، تنها درجهتِ مثبت منتشر مي‌شود، و هيچ بازتابي نخواهيم داشت:
نيروي واردشده بر تار در راستاي عمود، و در نقطهي x = 0 برابر مي‌شود با:
طبق تعريف پاگيريي مكانيكي عبارت است از نسبتِ نيرو به سرعت.
پاگيريي مكانيكي‌ي ديده‌شده ازمحلِ تكيه‌گاهِ يك تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت، برابر مي‌شود با:
در اين‌حالت پاگيريي مكانيكي كه پاگيريي موجي تار هم گفته مي‌شود تنها به فراسنج‌هاي فيزيكي تار بستگي دارد و نه نيروي محرك؛به‌همين دليل پاگيريي مشخصه هم ناميده مي‌شود.پاگيريي تارِ نيمه‌ـ بي‌نهايت يك عددِ حقيقي است.
در حالتِ كلي كه نيروي وارد بر تار در نقطه‌اي به‌غير از x = 0 اعمال شود، معادلهي موج به شكلِ زير تغيير مي‌يابد:
چگالي خطي نيروبرحسبِ N/m
اگر نيرو، مانندِ حالتي كه بررسي شد، تنها در نقطهي x = 0 اعمال گردد، بازهم اين معادله صادق است؛ تنها بايد توجه شود كه در اين‌حال داريم:
13) لرزش‌هاي واداشته (تارِ محدود)
محدود بودنِ درازاي تار و مقيدبودنِِ انتهاي آن سبب مي‌گردد كه امواجِ منتشرشده از نقطهي x = 0 از x = L بازتابيده شوند.
تنها حالتِ هماهنگِ ساده را بررسي مي‌كنيم.موجِ هماهنگِ ايجادشده در اثرِ نيروي سينوسي‌اعمالي بر نقطهي x = 0:
شرطِ مرزي در x = 0:
درنتیجه:
لرزش‌هاي واداشته (تارِ محدود)
جابه‌جايي‌ي تار در x = 0برابر است با:
اين جابه‌جايي به‌ازاي 
بيش‌ترين مقدار است؛
بيش‌ترين مقدار است؛اين جابه‌جايي به‌ازاي 
كم‌ترين مقدار است.
كم‌ترين مقدار است.سرعتِ تار در نقطهي x = 0برابر مي‌شود با:
پاگيريي مكانيكي‌ي ورودي‌‌ي تار برابر است با:
كه موهومي و واكنايي‌ي خالص است.
14) تارهاي واقعي
در عالمِ واقع ممكن است:
1) تكيه‌گاه‌ها همراه با تار حركت كنند، داراي چغري باشند، و نيز هنگامِ‌حركت اصطكاك داشته باشند. باوجودِ چنين تكيه‌گاهي در x = 0، شرطِ مرزيي متناظر عبارت مي‌شود از
2) تار با هواي پيرامونش اصطكاك داشته باشد. مقدارِ اين اصطكاك تابعِ بسامد است و با فراسنجي به‌نامِ مقاومتِ اصطكاكي‌ي كارا (effective friction resistance) كه در معادلهي موج نمايان مي‌گردد، نمايندگي مي‌شود:
فرايندهاي اتلافي در تارهاي واقعي
ميرايي لرزشِ تارهاي لرزان، در اثرِ وجودِ سه پديده ممكن است اتفاق بيفتد:
1- اصطكاك با هوا: به چگالي، شعاع، و بسامدِ لرزش بستگي دارد؛ ثابتِ زماني‌ي ميرايي: 
2-ميرايي‌ي داخلي: به‌دليلِ خستگي (strain)، رسانايي‌ي حرارتي، و ساييده‌شدنِ تارها به‌هم اتفاق مي‌افتد؛ ثابتِ زماني‌ي ميرايي: 
و
و3-اتلاف از راهِ تكيه‌گاه‌ها: به بسامد، درازا، و چگالي‌ي تار بستگي دارد؛ ثابتِ زماني‌ي ميرايي: 
ثابتِ زماني ميرايي‌ي كل:
